Przykłady obliczeń z zastosowaniem trygonometrii. Przykład 1. Oblicz pole trójkąta , jeżeli wiadomo, że . Zgodnie z definicją tangensa w trójkącie prostokątnym otrzymujemy, że: Z treści zadania wiemy, że: Porównując te wartości obliczamy : Długość podstawy to: Obliczamy pole trójkąta : Pole trójkąta wynosi .
POMOCY Mariolaa: Godzio a ja mogę Cię poprosic o jakies zadania maturalne z trygonometrii? 14 sie 17:06 Godzio: podstawa / rozszerzenie ? 14 sie 17:14 damian: Co prawda nie jestem Godzio ale zadanie jest wg mnie warte uwagi: Wyznacz najmniejszą wartość (ctg2x−tg2x)*sin22x funkcji f(x)= 4cos2x*sin2x 14 sie 17:16 Godzio: To wyrażenie w ogóle osiąga wartość najmniejszą? 14 sie 17:35 Mariolaa: podstawowa 14 sie 17:54 Bogdan: To wyrażenie posiada wartość najmniejszą. 14 sie 18:01 Godzio: 1. Oblicz: a) (cos45 − cos30)(cos45 + cos30) b) 4(ctg45 + sin60)(cos30 + tg45) c) (sin45 + ctg45)(6 * sin60 − ctg30) 2. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych wiedząc że: a) ctgx = 3 x ∊ (0,90) Tyle na początek 14 sie 18:07 Mariolaa: 1) (√2przez 2 − √3 przez 2) (√2przez 2 + √3 przez 2) = (√2przez 2)2 −(√3przez 2)2= 2 przez 4 − 3/4 = −1/4 14 sie 19:30 Kejt: Mariolu. zapisuj to tak: U{...} {...} usuń tylko spację ze środka, a w miejsce kropek wpisz liczby. Wyjdzie Ci wtedy ułamek.. 14 sie 19:32 Mariolaa: 2) 4(1+ √3/2)(√3/2+1)=4(1+ √3/2)(1−√3/2)= 4(1)2−(√3/2)2= 4*1− 3/4= 5−3/4 =5/4 14 sie 19:45 Mariolaa: dzięki uzyje tego w nastepnym zadaniu 14 sie 19:46 Godzio: 2) coś Ci źle wyszło popraw zauważ że masz: √3 √3 √3 4(1 + )( + 1) = 4(1 + )2 = ... 2 2 2 14 sie 20:35 Godzio: a możesz jeszcze wciągnąć tą 4 do nawiasu √3 22 * (1 + )2 = (2 + √3)2 = ... 2 teraz to pikuś 14 sie 20:37 Mariolaa: 22+2*2*√3+√32= 4+4√3+3=11√3 14 sie 20:55 Mariolaa: a drugie zadanie mi wyszło po podstawieniu tg=13, sin= √1010 cos= 13√1010 14 sie 21:01 Kejt: nie możesz tak dodać.. 4+3+4√3=7+4√3 14 sie 21:02 Godzio: 3√10 ok tylko przy cosx = 10 14 sie 21:07 Mariolaa: sin 513 cos 12 tg 221156 ctg 14 sorrki ze tak pozno ale problem z internetem miałam 16 sie 16:03 Godzio: nie ma problemu, ale chyba coś nie tak, pomyśl jeszcze 16 sie 16:52 Mariolaa: a tego nie wiem jak zrobic 16 sie 16:54 Mariolaa: tzn która odp jest zła? 16 sie 16:55 Mariolaa: a cos zle i i reszta zle powinno być 144169 tak? 16 sie 16:59 Godzio: jeśli cos wyszedł Ci 12 to chyba coś nie tak prawda ? 16 sie 17:00 Godzio: Sposób I : sin2x + cos2x = 1 sinx 5 13 5 tgx = = * = cosx 13 12 12 Sposób II −− rysunek 5 zaznaczamy na rysunku α i zgodnie z danymi zaznaczamy boki sinα = 13 x2 + 52 = 132 x2 = 144 x = 12 I tera już odczytujemy pokolei funcje 16 sie 17:03 Mariolaa: ooo rany niby proste a ja się nie mogę zabrac za to 16 sie 17:05 Godzio: pokazać 1. c) czy jeszcze walczysz ? 16 sie 17:06 Mariolaa: taak taak zagalopowałam się troszke z tym cosinusem hehe 16 sie 17:06 Mariolaa: probuje ale z moją błyskotliwością sądze ze mi nie wyjdzie hee 16 sie 17:07 Godzio: To poczekamy jeszcze, podstaw poupraszczaj to co się da w nawiasach i na końcu przemnóż 16 sie 17:10 Mariolaa: nie wychodzi. prosze o pomoc 16 sie 17:28 Godzio: √2 √3 √2 ( + 1)(6 * − √3) = ( + 1) * (3√3 − √3 ) = 2 2 2 √2 = ( + 1) * 2√3 = √6 + 2√3 2 16 sie 17:47 Mariolaa: a ja kombinowałam jak podstawic do wzoru matematyka nie jest na moją głowe 16 sie 17:56 Mariolaa: dasz mi jeszcze jakies przykłady czy masz dośc takich jak ja hihi 16 sie 17:59 Godzio: Ważne że próbujesz To może teraz coś z tożsamości: 1. Sprawdź czy podane równości są tożsamościami, podaj założenia ctgx b)cosx + cosx * ctg2x = sinx 2. Zapisz wyrażenia w najprostszej postaci: a) (cosx + tgx * sinx) * ctgx 3. Oblicz: a) sin275 + sin215 − 2sin30 −−− mam nadzieję że umiesz posługiwać się wzorami redukcyjnymi 16 sie 18:01 Godzio: Mam dość leniów, a nie tych którzy chcą się czegoś nauczyć 16 sie 18:02 Godzio: zad. 1 tgx a) powinno być cosx * sinx 16 sie 18:03 Mariolaa: a tożsamości nie są na rozszerzonym? 16 sie 18:04 Godzio: wracam za jakieś 20 min i sprawdzę Twoje rozwiązania 16 sie 18:04 Godzio: być może ale to jak chcesz to zrób w takim razie 2 i 3 jeśli nie chcesz tożsamości 16 sie 18:05 Mariolaa: 2) a cos*sin*tg*ctg2 b 1−cos*tgsin 16 sie 18:39 16 sie 18:40 Godzio: tgx * ctgx = 1 sinx a) (cosx + tgx * sinx) * ctgx = cosx * ctgx + tgx * ctgx * sinx = cosx * + cosx sinx = sinx + sinx = 2sinx 16 sie 18:41 Godzio: tak ale nie dla (90o + α) i (90o − α) −to jest na 100% na podstawie 16 sie 18:46 Godzio: cosx cos2x + sin2x 1 tak się pomyliłem cosx * + sinx = = sinx sinx sinx 16 sie 18:48 Godzio: nad b) pomyśl jeszcze 16 sie 18:48 Mariolaa: a skąd Ci się wzięło cosx* sinxcosx 16 sie 18:52 Godzio: cosx napisałem nieco wyżej ze mialo byc cosx* sinx 16 sie 18:59 Mariolaa: pogmatwałam sie całkowicie pomyliłes sie w pierwszym a ja robiłam 2 17 sie 18:37 Mariolaa: a tego 3 nie wiem jak rozgryzc 17 sie 18:37 Godzio: sin215 = sin2(90 − 75) = cos275, a teraz ? 17 sie 18:42 Mariolaa: kurcze ja w ogole nie wiem o co chodzi w tych wzorach 17 sie 19:13 Godzio: a przerabiałaś w ogóle trygonometrię w szkole ? 17 sie 19:17 Mariolaa: no tak 17 sie 19:21 Godzio: i nie miałaś podstawowych wzorów redukcyjnych ? 17 sie 19:22 Mariolaa: jeszcze specjalnie przeglądnęłam zeszyty bo swojej pamieci nie zawsze do konca ufam i nie miałam 17 sie 19:30 Godzio: no to kicha a powinnaś to mieć 17 sie 19:31 Mariolaa: porazka 17 sie 19:34
Matura 2012 marzec 7 Różne zadania z ostrosłupów Różne zadania z trygonometrii Matura podstawowa z matematyki - kurs - trygonometria Matura podstawowa z matematyki - kurs - geometria przestrzenna Matura podstawowa - kurs - część 54 - zadania Matura podstawowa - kurs - część 55 - zadania Szybka nawigacja do zadania numer: 10 20 30 40 50 60 70 .W tym nagraniu wideo omawiam typowe zadanie z trygonometrii, w którym mamy daną wartość jednej funkcji trygonometrycznej, a musimy policzyć wartości wszystkich pozostałych funkcji tego typu można rozwiązywać na kilka różnych sposobów - np. korzystając z twierdzenia Pitagorasa, albo jedynki trygonometrycznej. Plusy i minusy każdej z tych metod omawiam w tym nagraniu nagrania: 13 \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{3}{4}\). Wtedy \(\sin \alpha \) jest równy A.\( \frac{1}{4} \) B.\( \frac{\sqrt{3}}{4} \) C.\( \frac{\sqrt{7}}{4} \) D.\( \frac{7}{16} \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{3}{7}\). Wtedy A.\( \sin \alpha =\frac{2\sqrt{10}}{7} \) B.\( \sin \alpha =\frac{\sqrt{10}}{7} \) C.\( \sin \alpha =\frac{4}{7} \) D.\( \sin \alpha =\frac{3}{4} \) ASinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy \(\frac{3}{7}\). Wówczas cosinus tego kąta jest równy: A.\( \frac{4}{7} \) B.\( \frac{7}{4} \) C.\( \frac{2\sqrt{7}}{7} \) D.\( \frac{2\sqrt{10}}{7} \) DKąt \( \alpha \) jest ostry i \( \sin \alpha =\frac{1}{4} \). Wówczas A.\(\cos \alpha \lt \frac{3}{4} \) B.\(\cos \alpha =\frac{3}{4} \) C.\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{4} \) D.\(\cos \alpha >\frac{\sqrt{13}}{4} \) DKąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin{\alpha}=\frac{4}{5}\). Wtedy \(\cos{\alpha }\) jest równy A.\( \frac{1}{5} \) B.\( \frac{2}{5} \) C.\( \frac{3}{5} \) D.\( \frac{4}{5} \) CKąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\). Wtedy \(\sin \alpha\) jest równy A.\( \frac{1}{4} \) B.\( \frac{\sqrt{7}}{4} \) C.\( \frac{7}{16} \) D.\( \frac{\sqrt{7}}{16} \) BKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{5}{13}\). Wtedy A.\( \sin \alpha =\frac{12}{13} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\) B.\( \sin \alpha =\frac{12}{13} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{5}{12}\) C.\( \sin \alpha =\frac{12}{5} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{13}\) D.\( \sin \alpha =\frac{5}{12} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{13}\) AKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{4}{5}\). Oblicz \(\sin \alpha \) i \(\operatorname{tg} \alpha \).\(\sin \alpha =\frac{3}{5}\), \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{3}{4}\)Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} \). Wtedy \(\operatorname{tg}\alpha\) jest równy A.\( \frac{\sqrt{2}}{2} \) B.\( \frac{2}{\sqrt{2}} \) C.\( \sqrt{2} \) D.\( 1 \) DKąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Wówczas A.\( \cos \alpha =\sin \alpha \) B.\( \cos \alpha >\sin \alpha \) C.\( \cos \alpha \lt \sin \alpha \) D.\( \cos \alpha =1-\sin \alpha \) BKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =0{,}6\). Wówczas A.\( \cos \alpha =0{,}8 \) i \(\operatorname{tg} \alpha =0{,}4\) B.\( \cos \alpha =0{,}4 \) i \(\operatorname{tg} \alpha =1{,}5\) C.\( \cos \alpha =0{,}8 \) i \(\operatorname{tg} \alpha =0{,}75\) D.\( \cos \alpha =0{,}4 \) i \(\operatorname{tg} \alpha =0{,}75\) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{7}{13}\). Wtedy \(\operatorname{tg} \alpha \) jest równy A.\( \frac{7}{6} \) B.\( \frac{7\cdot 13}{120} \) C.\( \frac{7}{\sqrt{120}} \) D.\( \frac{7}{13\sqrt{120}} \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\). Wówczas \(\cos \alpha \) jest równy: A.\( \frac{5}{12} \) B.\( \frac{5}{13} \) C.\( \frac{10}{13} \) D.\( \frac{12}{13} \) BKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{5}{12}\). Oblicz \(\cos \alpha \).\(\cos \alpha =\frac{12}{13}\)Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości \(3\) i \(9\). Sinus najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy: A.\( \frac{3\sqrt{10}}{10} \) B.\( \frac{1}{3} \) C.\( \frac{\sqrt{10}}{10} \) D.\( \frac{\sqrt{10}}{30} \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Oblicz \(\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }\).\(\frac{1}{3}\)Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości \(8\) i \(6\). Sinus większego z kątów ostrych tego trójkąta jest równy A.\( \frac{3}{5} \) B.\( \frac{3}{4} \) C.\( \frac{4}{5} \) D.\( \frac{4}{3} \) CW trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi: A.\( \frac{\sqrt{17}}{17} \) B.\( \frac{\sqrt{5}}{5} \) C.\( \frac{4\sqrt{17}}{17} \) D.\( \frac{1}{17} \) CLiczba \(\sin 60^\circ +\cos 60^\circ \) jest równa A.\( 1 \) B.\( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) C.\( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \) D.\( \frac{2\sqrt{3}-3}{6} \) CLiczba \( \operatorname{tg} 30^\circ -\sin 30^\circ \) jest równa A.\(\sqrt{3}-1 \) B.\(-\frac{\sqrt{3}}{6} \) C.\(\frac{\sqrt{3}-1}{6} \) D.\(\frac{2\sqrt{3}-3}{6} \) DKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{3}{4}\). Wartość wyrażenia \(2-\cos ^2\alpha \) jest równa A.\( \frac{25}{16} \) B.\( \frac{3}{2} \) C.\( \frac{17}{16} \) D.\( \frac{31}{16} \) AKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =1\). Wówczas A.\( \alpha \lt 30^\circ \) B.\( \alpha =30^\circ \) C.\( \alpha =45^\circ \) D.\( \alpha >45^\circ \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin\alpha = 0{,}75\). Wówczas A.\( \alpha \lt 30^\circ \) B.\( \alpha =30^\circ \) C.\( \alpha =45^\circ \) D.\( \alpha >45^\circ \) DKąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\cos 47^\circ \). Wtedy miara kąta \(\alpha \) jest równa. A.\( 6^\circ \) B.\( 33^\circ \) C.\( 47^\circ \) D.\( 43^\circ \) DKąt \( \alpha \) jest kątem ostrym i \( \operatorname{tg} \alpha =\frac{1}{2} \). Jaki warunek spełnia kąt \( \alpha \)? A.\(\alpha \lt 30^\circ \) B.\(\alpha =30^\circ \) C.\(\alpha =60^\circ \) D.\(\alpha >60^\circ \) AW trójkącie prostokątnym \( ABC \) odcinek \( AB \) jest przeciwprostokątną i \( |AB|=13 \) oraz \( |BC|=12 \) . Wówczas sinus kąta \( ABC \) jest równy. A.\(\frac{12}{13} \) B.\(\frac{5}{13} \) C.\(\frac{5}{12} \) D.\(\frac{13}{12} \) BKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Wartość wyrażenia \(\cos^2\alpha -2\) jest równa A.\( -\frac{7}{4} \) B.\( -\frac{1}{4} \) C.\( \frac{1}{2} \) D.\( \frac{\sqrt{3}}{2} \) AKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =0{,}9\). Wówczas A.\( \alpha \lt 30^\circ \) B.\( \alpha =30^\circ \) C.\( \alpha =45^\circ \) D.\( \alpha >45^\circ \) AKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =0{,}8\). Wówczas A.\( \alpha \lt 30^\circ \) B.\( \alpha =30^\circ \) C.\( \alpha =45^\circ \) D.\( \alpha >45^\circ \) DKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha = \cos \alpha \). Wówczas A.\( \alpha =30^\circ \) B.\( \alpha =45^\circ \) C.\( \alpha =60^\circ \) D.\( \alpha =90^\circ \) BWartość wyrażenia \(\sin^{2} 23^\circ +\sin^{2} 67^\circ \) jest równa: A.\( 2\sin^{2} 23^\circ \) B.\( 2\sin^{2} 67^\circ \) C.\( 1 \) D.\( 0 \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha \).\(0\)Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha \).\(3\frac{2}{15}\)Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}^2\alpha -3\cos ^2\alpha \), jeżeli \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(\alpha \) jest kątem ostrym.\(2\frac{1}{4}\)Kąty ostre \(\alpha \) i \(\beta \) trójkąta prostokątnego spełniają warunek \(\sin^{2} \alpha +\sin^{2}\beta +\operatorname{tg}^{2}\alpha =4\) . Wyznacz miarę kąta \(\alpha \).\(\alpha =60^\circ \)W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości \(2\) i \(4\), jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha \). Oblicz \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).\(\frac{2}{5}\)W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość \(a\) i \(b\), zaś naprzeciw boku \(a\) znajduje się kąt ostry \(\alpha\). Wykaż, że jeśli \(\operatorname{tg} \alpha = 2,\) to:\[\frac{(a+b)\cdot b}{a^2-b^2}=1\]Uzasadnij, że jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\sin^4\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^4\alpha\).Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3+2\operatorname{tg}^2\alpha \).\(\frac{47}{15}\)W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość \(a\). Kąt ostry przy tym boku ma miarę \(\alpha \). Wykaż, że \(\sin \alpha +\cos \alpha >1\).Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\cos \alpha \cdot \sin \alpha \).\(\frac{1}{2}\)Rozwiąż równanie \(\cos 2x + \cos x + 1 = 0\) dla \(x\in \langle 0,2\pi \rangle\).\(x=\frac{\pi }{2}\) lub \(x=\frac{3\pi }{2}\) lub \(x=\frac{2\pi }{3}\) lub \(x=\frac{4\pi }{3}\)Rozwiąż równanie \(\cos2x + 2 = 3\cos x\).\(x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \) lub \(x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \) lub \(x=2k\pi \) gdzie \(k\in \mathbb{Z} \)Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest romb \(ABCD\) o boku długości \(4\). Kąt \(ABC\) rombu ma miarę \(120^\circ \) oraz \(|AS|=|CS|=10\) i \(|BS|=|DS|\). Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.\(\sin \alpha =\sqrt{\frac{22}{23}}\)Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wtedy wartość wyrażenia \(2cos^2\alpha -1\) jest równa A.\( 0 \) B.\( \frac{1}{3} \) C.\( \frac{5}{9} \) D.\( 1 \) BW trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych jest równa \(7\), zaś długość przeciwprostokątnej jest równa \(8\). Zatem tangens mniejszego kąta ostrego w tym trójkącie jest równy: A.\( \frac{15}{7} \) B.\( \frac{8}{15} \) C.\( \frac{\sqrt{15}}{7} \) D.\( \frac{7\sqrt{15}}{15} \) CMaszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest \(2\) razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta, pod jakim padają promienie słoneczne.\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}\)W trójkącie prostokątnym o bokach \(6, 8, 10\), tangens najmniejszego kąta jest równy A.\(\frac{3}{4} \) B.\(1\frac{1}{3} \) C.\(\frac{3}{5} \) D.\(\frac{4}{5} \) AW trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma długość \(25\), a najkrótszy \(7\). Tangens najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy: A.\(\frac{7}{24} \) B.\(\frac{24}{7} \) C.\(\frac{7}{25} \) D.\(\frac{24}{25} \) AJeżeli \( \alpha \) jest kątem ostrym oraz \( \operatorname{tg}{\alpha }=\frac{2}{5} \), to wartość wyrażenia \( \frac{3\cos{\alpha }-2\sin{\alpha }}{\sin{\alpha }-5\cos{\alpha }} \) jest równa A.\(-\frac{11}{23} \) B.\(\frac{24}{5} \) C.\(-\frac{23}{11} \) D.\(\frac{5}{24} \) AKąt \( \alpha \) jest ostry i spełniona jest równość \( 3\operatorname{tg}\alpha =2 \). Wtedy wartość wyrażenia \( \sin \alpha+\cos \alpha \) jest równa A.\(1 \) B.\(\frac{5\sqrt{13}}{26} \) C.\(\frac{5\sqrt{13}}{13} \) D.\(\sqrt{5} \) CKąt \( \alpha \) jest ostry oraz \( \frac{4}{\sin^2\!{\alpha }}+\frac{4}{\cos^2\!{\alpha }}=25 \). Oblicz wartość wyrażenia \( \sin{\alpha }\cdot \cos{\alpha } \). \(\frac{2}{5}\)Dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) wyrażenie \(\sin^{2} \alpha +\sin^{2} \alpha \cdot \cos^{2}\alpha + \cos^{4}\alpha\) jest równe A.\( 2\sin^{2} \alpha \) B.\( 2\cos^{2}\alpha \) C.\( 1 \) D.\( 2 \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{3}\). Wartość wyrażenia \(1+\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha \) jest równa A.\( \frac{4}{3} \) B.\( \frac{11}{9} \) C.\( \frac{17}{9} \) D.\( \frac{11}{3} \) AKosinus kąta ostrego rombu jest równy \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), bok rombu ma długość \(3\). Pole tego rombu jest równe A.\( \frac{9}{2} \) B.\( \frac{9\sqrt{3}}{4} \) C.\( \frac{9\sqrt{3}}{2} \) D.\( 6 \) APrzyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości \(1\) oraz \(\sqrt{3}\). Najmniejszy kąt w tym trójkącie ma miarę A.\( 60^\circ \) B.\( 30^\circ \) C.\( 45^\circ \) D.\( 15^\circ \) BKąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2+\sin^3\!\alpha +\sin\alpha \cdot \cos^2\!\alpha\).\(2\frac{3}{4}\)Na płaszczyźnie dane są punkty \( A=( \sqrt{2}, \sqrt{6} ) \text{, }\ B=(0, 0) \text{ i }\ C=(\sqrt{2}, 0)\) . Kąt \( BAC \) jest równy A.\(30^\circ \) B.\(45^\circ \) C.\(60^\circ \) D.\(75^\circ \) ALiczba \( \sin 150^\circ \) jest równa liczbie A.\( \cos 60^\circ \) B.\( \cos 120^\circ \) C.\( \operatorname{tg} 120^\circ \) D.\( \operatorname{tg} 60^\circ \) AJeżeli kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{3}{4}\), to \(\frac{2-\cos \alpha }{2+\cos \alpha }\) równa się A.\( -1 \) B.\( -\frac{1}{3} \) C.\( \frac{3}{7} \) D.\( \frac{84}{25} \) CW trójkącie, przedstawionym na rysunku poniżej, sinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy A.\( \frac{1}{5} \) B.\( \frac{\sqrt{6}}{12} \) C.\( \frac{5}{24} \) D.\( \frac{2\sqrt{6}}{5} \) DW układzie współrzędnych zaznaczono kąt \(\alpha \). Jedno z ramion kąta \(\alpha \) przechodzi przez punkt \(P=(-4,3)\). Wtedy: A.\( \cos \alpha = \frac{4}{5} \) B.\( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \) C.\( \cos \alpha = -\frac{4}{3} \) D.\( \cos \alpha = -\frac{3}{4} \) BJeżeli \(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =2\sin \alpha \), to A.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} \) B.\( \cos \alpha =\frac{1}{2} \) C.\( \cos \alpha =1 \) D.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} \) BDrabinę o długości \(4\) metrów oparto o pionowy mur, a jej podstawę umieszczono w odległości \(1{,}30\) m od tego muru (zobacz rysunek). Kąt \(\alpha \), pod jakim ustawiono drabinę, spełnia warunek A.\( 0^\circ \lt \alpha \lt 30^\circ \) B.\( 30^\circ \lt \alpha \lt 45^\circ \) C.\( 45^\circ \lt \alpha \lt 60^\circ \) D.\( 60^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ \) DKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Wówczas \(\cos \alpha \) jest równy A.\( \frac{5}{2} \) B.\( \frac{\sqrt{21}}{4} \) C.\( \frac{3}{5} \) D.\( \frac{\sqrt{21}}{5} \) DRównanie \(2\sin x+3\cos x=6\) w przedziale \((0,2\pi )\) ma rozwiązań rzeczywistych. dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste. ASinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy \(\frac{3}{4}\). Wówczas A.\( \cos \alpha =\frac{1}{4} \) B.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4} \) C.\( \cos \alpha =\frac{7}{16} \) D.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{16} \) BW trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych \(2\) i \(5\) cosinus większego z kątów ostrych jest równy A.\( \frac{5}{2} \) B.\( \frac{2}{5} \) C.\( \frac{2}{\sqrt{29}} \) D.\( \frac{5}{\sqrt{29}} \) CKąt \(\alpha \) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).\(\frac{2}{7}\)Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(3\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha =0\). Wtedy A.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{1}{3} \) B.\( \operatorname{tg} \alpha =3 \) C.\( \operatorname{tg} \alpha =\sqrt{3} \) D.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3} \) DKąt \(\alpha \in (0^\circ , 180^\circ )\) oraz wiadomo, że \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha =-\frac{3}{8}\). Wartość wyrażenia \((\cos \alpha -\sin \alpha )^2+2\) jest równa A.\( \frac{15}{4} \) B.\( \frac{9}{4} \) C.\( \frac{27}{8} \) D.\( \frac{21}{8} \) Wartość wyrażenia \(2\sin^{2} 18^\circ +\sin^{2} 72^\circ +\cos^{2} 18^\circ \) jest równa A.\( 0 \) B.\( 1 \) C.\( 2 \) D.\( 4 \)
Aby móc rozwiązywać niektóre zadania z trygonometrii musimy umieć posługiwać się tablicami trygonometrycznymi z których będziemy odczytywać różne interesujące nas informacje. Tablice trygonometryczne znajdują się na końcu oficjalnych tablic matematycznych CKE, którymi posługujemy się na lekcjach matematyki oraz na maturze.

źródło:Nowa Era. MATeMAtyka 2. Podręcznik do matematyki dla szkół ponadgimnazjalnych. Klasa 2. Zakres podstawowy. Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha. Wydanie 2016 uwaga wyjątkowo w tej książce nie wszystkie zadania zostały rozwiązane– stąd przerwy w numeracji zadań Funkcje trygonometryczne kąta Trygonometria – Rozwiązywanie trójkątów Związki między funkcjami Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego (1) Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego (2) Zagadnienia uzupełniająceZestawy powtórzeniowe – Zestaw IZestawy powtórzeniowe – Zestaw IIPrzed obowiązkową maturą z matematyki – TestPrzed obowiązkową maturą z matematyki – Zadania Funkcje trygonometryczne kąta ostrego ne3732znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 ne3731znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasaid: zd0134 ne3734znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 ne3733znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 ne3735znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 ne3736znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 ne3737znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 ne3740znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 Trygonometria – zastosowania ne3755znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3756znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3757znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3742znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3758znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3759znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3754znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3751znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3747znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3748znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3749znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3750znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3761znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3744znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych ne3763znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3775znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3766znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043rozwiązywanie układów równań liniowych (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0050rozwiązywanie układów równań liniowych, układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny - metoda wyznacznikówid: zd0106definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133 ne3767znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3768znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3762znaki dymne powiązane z zadaniem:podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3774znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 ne3776znaki dymne powiązane z zadaniem:przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075 Związki między funkcjami trygonometrycznymi ne3777znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 ne3788znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3787znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3791znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3790znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3789znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3778znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013przybliżenia liczbid: zd0104proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego (1) ne3793znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 ne3794znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 ne3795znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074 ne3799znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3800znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3802znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego (2) ne3804znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3805znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3806znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3803znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3796znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3797znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3807znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3808znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3809znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 Zagadnienia uzupełniające ne3810znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3811znaki dymne powiązane z zadaniem:usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 Zestawy powtórzeniowe – Zestaw I ne3851znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055zgadywanie postaci iloczynowej, wzory Viete'aid: zd0059definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127 ne3853znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055zgadywanie postaci iloczynowej, wzory Viete'aid: zd0059definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasaid: zd0134 ne3854znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055zgadywanie postaci iloczynowej, wzory Viete'aid: zd0059definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasaid: zd0134 ne3866znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 Zestawy powtórzeniowe – Zestaw II ne3869znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 ne3870znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3871znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076 ne3868znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 Przed obowiązkową maturą z matematyki – Test brak rozwiązań Przed obowiązkową maturą z matematyki – Zadania Zadanie 1id: ne3884znaki dymne powiązane z zadaniem:pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076pola trójkątówid: zd0125niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 Zadanie 2id: ne3881znaki dymne powiązane z zadaniem:definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076pola trójkątówid: zd0125niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 Zadanie 3id: ne3882znaki dymne powiązane z zadaniem:pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076pola trójkątówid: zd0125niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 Zadanie 5id: ne3885znaki dymne powiązane z zadaniem:pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055zgadywanie postaci iloczynowej, wzory Viete'aid: zd0059definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076pola trójkątówid: zd0125niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 Zadanie 6id: ne3886znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055zgadywanie postaci iloczynowej, wzory Viete'aid: zd0059definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076pola trójkątówid: zd0125niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 Zadanie 7id: ne3887znaki dymne powiązane z zadaniem:wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055zgadywanie postaci iloczynowej, wzory Viete'aid: zd0059definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076pola trójkątówid: zd0125niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102 Zadanie 8id: ne3888znaki dymne powiązane z zadaniem:rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055zgadywanie postaci iloczynowej, wzory Viete'aid: zd0059definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074wzory redukcyjneid: zd0076pola trójkątówid: zd0125niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127trójkąt równobocznyid: zd0101kwadratid: zd0102

Kąty wewnętrzne trapezu równoramiennego, jakie tworzą ramiona z dowolną podstawą, mają równe miary. Twierdzenie. W trapezie równoramiennym przekątne mają równe długości. Trapez prostokątny. Jeżeli jeden z kątów wewnętrznych trapezu jest kątem prostym, to taki trapez nazywamy prostokątnym. W takim trapezie jeszcze drugi kąt Test:Trygonometria © 2022 | Wykonanie: SpaceLab

Katalog ściąg i opracowań z zakresu Funkcje trygonometryczne - Matematyka. Wiosna Ludów 1848-1849 w Europie i na ziemiach polskich

W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). WtedyA. $\begin{gather*}\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\end{gather*}$B. $\begin{gather*}\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}\end{gather*}$C. $\begin{gather*}\sin\alpha=\frac{2}{3}\end{gather*}$D. $\begin{gather*}\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\end{gather*}$ W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). WtedyA. $\begin{gather*}\sin\alpha=2\end{gather*}$B. $\begin{gather*}\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{gather*}$C. $\begin{gather*}\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{gather*}$D. $\begin{gather*}\cos\alpha=\frac{1}{2}\end{gather*}$ W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). WtedyA. $\begin{gather*}\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\end{gather*}$B. $\begin{gather*}\cos\alpha=\frac{2}{3}\end{gather*}$C. $\begin{gather*}\sin\alpha=\frac{2}{3}\end{gather*}$D. $\begin{gather*}\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}\end{gather*}$ W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). WtedyA. $\begin{gather*}\sin\alpha=2\end{gather*}$B. $\begin{gather*}\cos\alpha=\sqrt{5}\end{gather*}$C. $\begin{gather*}\sin\alpha=\sqrt{5}\end{gather*}$D. $\begin{gather*}\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}\end{gather*}$ W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). WtedyA. $\begin{gather*}\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}\end{gather*}$B. $\begin{gather*}\cos\alpha=3\end{gather*}$C. $\begin{gather*}\hbox{tg } \alpha=\frac{\sqrt{10}}{3}\end{gather*}$D. $\begin{gather*}\hbox{tg } \alpha=\frac{1}{3}\end{gather*}$ Dla kąta ostrego $\alpha$, $\sin\alpha=\frac{1}{2}$. Wartość wyrażenia $1-2\cos^2\alpha$ jest równaA. $\frac{1}{2}$B. $-\frac{1}{2}$ C. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ Dla kąta ostrego $\alpha$, $\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Wartość wyrażenia $\sin^2\alpha-3$ jest równaA. $\frac{5}{2}$B. $-\frac{3}{2}$ C. $-\frac{5}{2}$D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Wykorzystajmy te zależności do rozwiązania zadania:,,. Stosujemy wzór na sumę cosinusów:,. Zatem otrzymujemy: lub . lub , gdzie . Odpowiedź: lub , gdzie . Przykład 3 Zapoznaj się z filmem. Zwróć uwagę na metodę podstawiania zastosowaną w przykładzie 2. W przykładzie 3 został wykorzystany wzór, który pojawił się w zadaniu 2.

Matura z matematyki Poziom rozszerzony Trygonometria. zakres podstawowy i rozszerzony Matematyka LICEUM pliki uzytkownika elus_168 przechowywane w serwisie Chomikuj.plMatura z Matematyki forum zadankowe liczby i wyrazenia algebraiczne logika, zbiory, przedzialy wartosc

Matura 2013 listopad Różne zadania z trygonometrii Matura podstawowa z matematyki - kurs - trygonometria Matura podstawowa - kurs - część 38 - zadania Sąsiednie zadania Zadanie 1289 Zadanie 1290 Gdy znamy długości dwóch boków trójkąta oraz miarę kąta zawartego pomiędzy nimi, to pole trójkąta możemy obliczyć z poniższego wzoru: P = lub. P = lub. P= Przykład: Mamy dany trójkąt o długości boku c = 3cm oraz kątach = 45 0 oraz = 30 0. Obliczyć pole trójkąta. Rozwiązanie: .
  • b3z2kkq387.pages.dev/69
  • b3z2kkq387.pages.dev/748
  • b3z2kkq387.pages.dev/946
  • b3z2kkq387.pages.dev/723
  • b3z2kkq387.pages.dev/532
  • b3z2kkq387.pages.dev/975
  • b3z2kkq387.pages.dev/980
  • b3z2kkq387.pages.dev/786
  • b3z2kkq387.pages.dev/669
  • b3z2kkq387.pages.dev/252
  • b3z2kkq387.pages.dev/307
  • b3z2kkq387.pages.dev/602
  • b3z2kkq387.pages.dev/506
  • b3z2kkq387.pages.dev/237
  • b3z2kkq387.pages.dev/949

    • zadania z trygonometrii matura podstawowa